Koordinatensysteme
Um die Position eines Himmelsobjekts (z.B. Planet) anzugeben benutzt man Koordinatensysteme. Im Folgenden finden sie
eine Übersicht der gebräuchliche Systeme.
Koordinatensysteme in der Mathematik
Kartesische Koordinaten
Beim kartesischen Koordinatensystem wird mit 3 aufeinander senkrecht stehenden Achsen X,Y,Z gearbeitet wird. Die Lage eines Punkts im Raum wird hier durch Angabe dreier Koordinaten
\(x, y, z\)angegeben. In Abbildung
20 finden sie eine Erklärung der Koordinaten.
| Symbol
| Bedeutung
|
|---|
| \(x\) | X-Koordinate
|
| \(y\) | Y-Koordinate
|
| \(z\) | Z-Koordinate
|
Kugelkoordinaten
In der Astronomie werden häufig Kugelkoordinaten benutzt. Manchmal werden diese auch als sphärische Polarkoordinaten bezeichnet.
Anstatt
\(x, y, z\)anzugeben, benutzen wir 2 Winkel um eine Richtung im Raum anzugeben und zusätzlich geben wir noch
die Entfernung zum Ursprung an.
| Symbol
| Bedeutung
|
|---|
| \(\lambda\) | Winkel der Länge, gemessen in der X-Y-Ebene gegen den Uhrzeigersinn
|
| \(\beta\) | Winkel der Breite, gemessen in einer Ebene senkrecht zur X-Y-Ebene gegen den Uhrzeigersinn
|
| \(r\) | Entfernung zum Ursprung
|
Prinzipiell könnte man den Längenwinkel natürlich auch in einer anderen Ebene messen. Die hier
vorgestellen Definitionen sind in der Astronomie weit verbreitete Konventionen.
Abbildung
21 verdeutlicht die Kugelkoordinaten und auch den Zusammenhang mit den kartesischen Koordinaten.
Aus der Abbildung können Sie auch direkt entnehmen wie aus Kugelkoordinaten die kartesischen Koordinaten errechnet
werden:
| $$\begin{eqnarray}
x &=& r \cos \beta \cos \lambda \\
y &=& r \cos \beta \sin \lambda \\
z &=& r \sin \beta
\end{eqnarray}$$ | (31) |
| (32) |
| (33) |
Ebene Polarkoordinaten
Ein Spezialfall der Kugelkoordinaten sind die ebenen Polarkoordinaten. Diese sind immer dann nützlich wenn man die Position von Objekten angeben will, welche sich nur innerhalb einer Ebene bewegen. Die ebenen Polarkoordinaten bestehen aus einem Winkel
\(\lambda\)und der Entfernung von Ursprung
\(r\). Abbildung
22 verdeutlicht die Bedeutung
der Parameter.
| Symbol
| Bedeutung
|
|---|
| \(\lambda\) | Winkel der Länge gemessen in der X-Y-Ebene
|
| \(r\) | Entfernung zum Ursprung
|
Polarkoordinaten können über
| $$\begin{eqnarray}
x&=&r\cos \lambda \\
y&=&r \sin \lambda
\end{eqnarray}$$ | (34) |
| (35) |
in die entsprechenden zweidimensionalen kartesischen Koordinaten umgerechnet werden.
Ebene Polarkoordinaten sind z.B. nützlich für Planetenbahnen, da sich ein Planet auf einer ellipsenförmigen Bahn innerhalb einer Ebene bewegt.
Rotationsmatrizen
Mit Hilfe von Rotationsmatrizen kann man die kartesischen Koordinaten
von einem Koordinatensystem in ein anderes umrechnen, welches gegenüber dem
ersten verdreht ist.
\(\mathbf{x}_1\)sind die Koordinaten in einem System
1:
| $$
\mathbf{x}_1 = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1\end{pmatrix}
$$ |
Und
\(\mathbf{x}_2\)sind die Koordinaten in einem System 2:
| $$
\mathbf{x}_2 = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2\end{pmatrix}
$$ |
Das Koordinatensystem 2 sei gegenüber dem System 1 um einen Winkel
\(\alpha\)(gemessen gegen den Uhrzeigersinn)
um eine der Achsen von System 1 gedreht. Dann gilt:
| $$
\mathbf{x}_1 = \mathbf{R}_i(\alpha) \mathbf{x}_2
$$ |
bzw.
| $$
\mathbf{x}_2 = \mathbf{R}_i(-\alpha) \mathbf{x}_1
$$ |
wobei
\(i\)einen der Werte
\(x,y\)oder
\(z\)annimmt.
Die Rotationsmatrizen für die Achsen sind:
| $$\begin{eqnarray*}
R_x(\alpha) &=& \begin{pmatrix} 1 && 0 && 0 \\
0 && \cos \alpha && -\sin \alpha \\
0 && \sin \alpha && \cos \alpha
\end{pmatrix} \\
R_y(\alpha) &=& \begin{pmatrix} \cos \alpha && 0 && \sin \alpha \\
0 && 1 && 0 \\
-\sin \alpha && 0 && \cos \alpha
\end{pmatrix} \\
R_z(\alpha) &=& \begin{pmatrix} \cos \alpha && -\sin \alpha && 0 \\
\sin \alpha && \cos \alpha && 0 \\
0 && 0 && 1
\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}$$ |
|
|
Koordinatensystem in der Astronomie
In der Astronomie werden Kugelkoordinaten (oder der Spezialfall der ebenen Polarkoordinaten) gleichwertig mit kartesischen Koordinaten benutzt.
Die Kugelkoordinaten sind meist praktischer wenn es um die Richtung geht (z.B. um ein Teleskop einzustellen) während man mit kartesischen
Koordinaten einfacher Vektoroperationen (Addition, Subtraktion, Drehung) durchführen kann.
Spricht man im astronomische Zusammenhang z.B. vom heliozentrisch ekliptikalen Koordinatensystem so können damit sowohl Kugelkoordinaten oder auch
kartesische Koordinaten gemeint sein. Beide Arten die Position anzugeben sind gleichwertig und man kann ja mittels der Gleichungen
31 umrechnen.
Orbitalsystem
Für jeden Planeten gibt es ein geeignetes Koordinatensystem, um die Bahn zu beschreiben: Man legt den Ursprung in die Sonne und läßt die X-Y-Ebene mit der Bahnebene des
Planeten übereinstimmen. Die X-Achse zeigt auf das Perihel der Bahn. Auf diese Art kommt man mit einem zweidimensionalen Koordinatensystem aus (zumindest solange man
nur einen Planeten behandeln will).
In Abbildung
23 sind die Achsen des Orbitalsystems gezeichnet.
Man hat also zwei kartesischen Koordinaten
\(x_{orbit}, y_{orbit}\)oder in Matrixschreibweise
| $$
\mathbf{x}_{orbit} = \begin{pmatrix} x_{orbit} \\ y_{orbit} \end{pmatrix}
$$ |
In ebenen Polarkooridaten genügt ein Winkel
\(\nu\)(wahre Anomalie) und die Entfernung
\(r\)um eine Planetenposition festzulegen.
| Symbol
| Bedeutung
|
|---|
| \(x_{orbit}\) | X-Koordinate
|
| \(y_{orbit}\) | Y-Koordinate
|
| \(\mathbf{x}_{orbit}\) | Matrixschreibweise
|
| \(\nu\) | Wahre Anomalie
|
| \(r\) | Entfernung zur Sonne
|
Heliozentrisch ekliptikales Koordinatensystem
Definition
Beim heliozentrisch ekliptikalen Koordinatensystem liegt der Ursprung in der Sonne und die X-Y-Ebene stimmt mit der
Bahnebene der Erde (Ekliptikalebene) überein. Die X-Achse zeigt auf den Frühlingspunkt.
In Abbildung
24 sind die Achsen des heliozentrisch eklipitikalen Koordinatensystems gezeichnet.
Für einen Planeten benötigen
wir also drei kartesische Koordinaten
\(x_{heliocentric}, y_{heliocentric}, z_{heliocentric}\)zur Angabe einer Position.
Oder in Matrixschreibweise
| $$
\mathbf{x}_{heliocentric} = \begin{pmatrix} x_{heliocentric} \\ y_{heliocentric} \\ z_{heliocentric} \end{pmatrix}
$$ |
Benutzt man Kugelkoordinaten benötigt man die heliozentrische Länge
\(l\), die heliozentrische Breite
\(b\)und die
Entfernung zur Sonne
\(r\).
| Symbol
| Bedeutung
|
|---|
| \(x_{heliocentric}\) | X-Koordinate
|
| \(y_{heliocentric}\) | Y-Koordinate
|
| \(z_{heliocentric}\) | Z-Koordinate
|
| \(\mathbf{x}_{heliocentric}\) | Matrixschreibweise
|
| \(l\) | heliozentrische Länge
|
| \(b\) | heliozentrische Breite
|
| \(r\) | Entfernung zur Sonne
|
Berechnung
Das Orbitalsystem geht aus dem heliozentrisch ekliptikalen Koordinatensystem durch Rotation
- um den Winkel
\(\Omega\)um die Z-Achse drehen
- um den Winkel
\(i\)um die (neue) X-Achse drehen
- um den Winkel
\(\omega\)um die (neue) Z-Achse drehen
hervor. Siehe auch Abbildung
25 .
Die 3 Winkel
\(\Omega\),
\(i\)und
\(\omega\)sind Bahnelemente, welche die Lage einer Planetenbahn beschreiben.
| Symbol
| Bedeutung
|
|---|
| \(\Omega\) | Länge des aufsteigenden Knotens
|
| \(i\) | Neigung der Bahnebene zur Ekliptik
|
| \(\omega\) | Winkel zwischen Perihel und aufsteigendem Knoten
|
Zwischen dem heliozentrisch ekliptikalen Koordinatensystem um dem Orbitalsystem kann man durch die Anwendung von Rotationsmatrizen umrechnen:
| $$\begin{equation}
\mathbf{x}_{heliocentric} = R_z(\Omega) R_x(i) R_z(\omega)\mathbf{x}_{orbital}
\end{equation}$$ | (36) |
Oder umgekehrt:
| $$\begin{equation}
\mathbf{x}_{orbital} = R_z(-\omega) R_x(-i) R_z(-\Omega)\mathbf{x}_{heliocentric}
\end{equation}$$ | (37) |
Geozentrisch ekliptikales Koordinatensystem
Definition
Beim geozentrisch ekliptikalen Koordinatensystem liegt der Ursprung in der Erde. Die X-Y-Ebene stimmt wieder mit der Bahnebene der Erde überein.
Die X-Achse zeigt auf den Frühlingspunkt.
In Abbildung
24 sind die Achsen des geozentrisch äquatorialen Koordinatensystems gezeichnet.
Für einen Planeten benötigen
wir also drei kartesische Koordinaten
\(x_{geocentric}, y_{geocentric}, z_{geocentric}\)zur Angabe einer Position.
Oder in Matrixschreibweise
| $$
\mathbf{x}_{geocentric} = \begin{pmatrix} x_{geocentric} \\ y_{geocentric} \\ z_{geocentric} \end{pmatrix}
$$ |
Bei Verwendung von Kugelkoordinaten benötigt man die geozentrische Länge
\(\lambda\), die geozentrische Breite
\(\beta\)und die
Entfernung zur Sonne
\(r\).
| Symbol
| Bedeutung
|
|---|
| \(x_{geocentric}\) | X-Koordinate
|
| \(y_{geocentric}\) | Y-Koordinate
|
| \(z_{geocentric}\) | Z-Koordinate
|
| \(\mathbf{x}_{geocentric}\) | Matrixschreibweise
|
| \(\lambda\) | geozentrische Länge
|
| \(\beta\) | geozentrische Breite
|
| \(r\) | Entfernung zur Sonne
|
Berechnung
Die geozentrisch ekliptikalen Koordinaten eines Planeten kann leicht aus den heliozentisch ekliptikalen Koordinaten über eine Vektorsubtraktion
ermitteln:
| $$
\mathbf{x}_{planet, geocentric} = \mathbf{x}_{planet, heliocentric} - \mathbf{x}_{earth, heliocentric}
$$ |
Geozentrisch äquatoriales Koordinatensystem
Definition
Das geozentrisch äquatoriale Koordinatensystem unterscheidet sich vom geozentrisch ekliptikalen nur durch die Neigung der X-Y-Ebene:
Der Ursprung liegt in der Erde. Die X-Y-Ebene stimmt mit der Erdäquatorialebene überein und die X-Achse zeigt auf den Frühlingspunkt.
In Abbildung
26 sind die Achsen des geozentrisch äquatorialen Koordinatensystems gezeichnet.
Für einen Planeten benötigen
wir also drei kartesische Koordinaten
\(x_{equatorial}, y_{equatorial}, z_{equatorial}\)zur Angabe einer Position.
Oder in Matrixschreibweise:
| $$
\mathbf{x}_{equatorial} = \begin{pmatrix} x_{equatorial} \\ y_{equatorial} \\ z_{equatorial} \end{pmatrix}
$$ |
Bei Verwendung von Kugelkoordinaten benötigt man:
- die geozentrisch äquatoriale Länge
\(\alpha\), welche als Rektaszension bezeichnet wird.
- die geozentrische äquatoriale Breite
\(\delta\), welche als Deklination bezeichnet wird.
- die Entfernung zur Sonne
\(r\).
| Symbol
| Bedeutung
|
|---|
| \(x_{equatorial}\) | X-Koordinate
|
| \(y_{equatorial}\) | Y-Koordinate
|
| \(z_{equatorial}\) | Z-Koordinate
|
| \(\mathbf{x}_{equatorial}\) | Matrixschreibweise
|
| \(\alpha\) | geozentrische äquatoriale Länge, Rektaszension
|
| \(\delta\) | geozentrische äquatorial Breite, Deklination
|
| \(r\) | Entfernung zur Sonne
|
| \(\epsilon\) | Neigung der Ekliptikaleben zur Äquatorialebene
|
Berechnung
Die Umrechnung von geozentrisch eklipitikalen Koordinaten in geozentrisch äquatoriale Koordinaten erfolgt durch Anwendung einer
Rotationsmatrix:
| $$
\mathbf{x}_{planet, equatorial} = R_x(\epsilon) \mathbf{x}_{planet,geocentric}
$$ |
