Ephemeridenberechnung
Ephemeridenberechnung Bahnelemente
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Bahnelemente

Die Bahn eines Planeten wird durch seine Bahnelemente beschrieben. Kennt man die Bahnelemente kann man zu jedem beliebigen Zeitpunkt die Planetenposition berechnen.

Zahl der Bahnelemente

Wieviele Bahnelemente benötigt man um die Bahn eines Planeten festzulegen? Spielen sie gedanklich einmal Gott und setzen einen neuen Planeten ins Sonnensystem. Sie müssen sich dann entscheiden wo sie den neuen Planeten hinsetzen (=3 Ortskoordinaten in einem kartesischen Koordinatensystem) und sie können dem Planeten gleich eine Anfangsgeschwindigkeit mitgeben (3 weitere Parameter). Ach ja, der Planet muss natürlich auch noch eine Masse haben. Damit haben wir jetzt insgesamt 7 Zahlenwerte. Wenn Sie diese Werte kennen, dann ist es möglich mit Hilfe der Newtonschen Axiome die Planetenposition zu allen Folgezeitpunkten zu berechnen.

Wir benötigen also 7 Konstanten, um eine Planetenbahn vollständig beschreiben zu können.

Liste der Bahnelemente

Anstatt von Startkoordinaten und einer Startgeschwindigkeit kann man auch andere Konstanten nehmen. Eine gefällige Wahl für Ellipsenbahnen ist:
Symbol Bedeutung
\(a\)grosse Halbachse
\(e\)Exzentrität
\(t_0\)Zeitpunkt des Periheldurchgangs
\(T\)Umlaufzeit
\(\Omega\)Länge des aufsteigenden Knotens
\(i\)Neigung der Bahnebene zur Ekliptik
\(\omega\)Winkel zwischen Perihel und aufsteigendem Knoten

6 oder 7 Bahnelemente?

Manchmal findet man in der Literatur eine Zahl von 6 Bahnelementen.

Gemäß des 3 Keplerschen Gesetz
$$ \frac{a^3}{T^2} = \frac{\gamma (M+m)}{4\pi^2} $$
sind die Bahnelemente \(a\)und \(T\)nicht unabhängig. Wenn man die Planetenmasse als klein gegenüber der Sonnemasse annimmt, dann kann man \(a\)aus \(T\)berechnen. Unter Berücksichtigung dieser Näherung genügen also 6 Bahnelemente, um die Bahn vollständig festzulegen.
Symbol Bedeutung
\(m\)Planetenmasse
\(M\)Sonnenmasse
\(\gamma\)Gravitationskonstante

Bahnelemente für die Bahnform

Die ersten beiden Bahnelemente \(a\)und \(e\)beschreiben die geometrische Form der Ellipse. Eine Ellipse besitzt eine große Halbachse \(a\)und eine kleine Halbachse \(b\). Siehe hierzu die Abbildung 17 . Die Differenz der Halbachsen \(a-b\)ist ein Maß für die Abweichung der Ellipsenform von der Kreisform. Die (numerische) Exzentrität ist definiert als
$$ e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a} $$
Für den Kreis gilt \(e=0\). Durch Angabe von \(a\)und \(e\)ist eine Ellipse vollständig beschrieben.

Abbildung 17: Die Ellipse wird durch die Halbachsen \(a\)und \(b\)beschrieben.

Bahnelemente für den zeitlichen Verlauf

Die Bahnelemente \(t_0\)und \(T\)legen den zeitlichen Verlauf der Planetenbahn fest.

Bahnelemente für die Lage der Bahn

Die restlichen drei Bahnelemente \(\Omega\), \(i\)und \(\omega\)sind Winkel, welche die Orientierung der Planetenbahn zu einem Referenzkoordinatensystem beschreiben.

Ein geeignetes kartesisches Koordinatensystem für eine Ellipse ist es die X-Y-Ebene mit der Bahnebene übereinstimmen zu lassen, den Ursprung in die Sonne (Brennpunkt) zu legen und die X-Achse auf das Perihel zeigen zu lassen. Siehe hierzu das kartesische Koordinatensystem in 17 und das blaue Koordinatensystem in 18 . Dieses Koordinatensystem wird als Orbitalsystem bezeichnet (siehe auch Orbitalsystem ).

Als Referenzkoordinatensystem verwenden wir ein kartesisches Koordinatensystem mit Ursprung in der Sonne bei welchem die X-Y-Ebene mit der Ekliptik zusammenfällt und die X-Achse auf den Frühlingspunkt zeigt. Sie hierzu das rote Koordinatensystem in 18 . Dieses Koordinatensystem wird als heliozentrisch ekliptikales Koordinatensystem (siehe Abschnitt Heliozentrisch ekliptikales Koordinatensystem ) bezeichnet.

Wenn Sie das heliozentrisch ekliptikale Koordinatensystem nacheinander
  1. um den Winkel \(\Omega\)um die Z-Achse drehen
  2. um den Winkel \(i\)um die (neue) X-Achse drehen
  3. um den Winkel \(\omega\)um die (neue) Z-Achse drehen
dann erhalten Sie das Orbitalsystem. Über die 3 Winkel \(\Omega\), \(i\)und \(\omega\)läßt sich also jede mögliche Bahnlage beschreiben.

Abbildung 18: Die Lage der Planetenbahnebene wird durch durch die Winkel \(\Omega\), \(i\)und \(\omega\)festgelegt.

Die mittlere Anomalie

Verwendet man im Orbitalsystem ebene Polarkoodinaten dann, wird die Position eines Planeten durch denn Sonnenabstand \(r\)und die Winkelkoordinate \(\nu\), auch wahre Anomalie genannt, festgelegt (siehe 17 ).

Würde sich der Planet auf einer gleichförmigen Kreisbahn um die Sonne bewegen, so würde die Anomalie gleichmäßig mit der Zeit zunehmen. Auch für Planeten, welche sich auf einer Ellipsenbahn bewegen, definiert man als mittlere Anomalie \(M\)
$$ M(t)=2\pi (t-t_0)/T $$
Man tut also so, als ob sich der Planet auf einer Kreisbahn bewegen würde. Durch Lösung der Keplerschen Gleichung kann man dann aus der mittleren Anomalie \(M\)die wahre Anomalie \(\nu\)berechnen. Je kreisförmiger die Planetenbahn ist, umso mehr stimmt die mittlere Anomalie mit der wahren Anomalie überein. Man kann die Definiton für die mittlere Anomalie etwas umschreiben:
$$\begin{eqnarray*} M(t)&=&\underbrace{- 2\pi t_0/T}_{M_0} + \underbrace{(2\pi /T)}_{\dot{M}} t \end{eqnarray*}$$
Die mittlere Anomalie zerfällt also in einen konstanten Offset \(M_0\)und einen linearen Anteil \(\dot{M}\). Manchmal werden, wenn Bahnelemente für die elliptische Bahn angegeben werden, die Parameter \(t_0\)und \(T\)ersetzt durch \(M_0\)und \(\dot{M}\).

Die mittlere Länge

Für ungefähr kreisförmige Planetenbahnen stimmt die mittlere Anomalie ungefähr mit der wahren Anomalie überein. Nun wird die wahre Anomalie ausgehend vom Perihel gemessen. Die Lage des Perihels zweier Planeten im Sonnensystem ist natürlich unterschiedlich. Deshalb kann man die mittlere (oder wahre) Anomalie zweier Planeten nicht vergleichen. Vergleichbare Winkel bekommt man indem man die Anomalie der Planeten auf ein gemeinsames Referenzsystem umrechnet. Als Referenzsystem benutzen wir das heliozentrische Koordinatensystem (X-Y-Ebene = Ekliptik, X-Achse in Richtung des Frühlingspunkts). Wir definieren nun als mittlere Länge des Planeten \(L\)
$$\begin{equation} L=M+\underbrace{\Omega+\omega}_{\tilde{\omega}} \end{equation}$$(29)
Für den Fall das die Inklination \(i\)klein ist und die Planetenbahn nahezu kreisförmig ist, ist die mittlere Länge eines Planeten ungefähr mit der wahren heliozentrischen Länge identisch.

Die Summe der Winkel \(\Omega\)und \(\omega\)wird als Länge des Perihels \(\tilde{\omega}\)bezeichnet.
$$\begin{equation} \tilde{\omega}=\Omega+\omega \end{equation}$$(30)
\(\tilde{\omega}\)ist so definiert, daß zwei Winkel summiert werden, welche nicht in der gleichen Ebene liegen. Die Interpretation als Winkel macht also nur Sinn für kleine Inklinkationen.

Für unser Sonnensystem haben wir oft kleine Inklinationen und nahezu kreisförmige Bahnen. Mit der mittleren Länge \(L\)und der Länge des Perihels haben wir damit einfach interpretierbare Größen geschaffen, die es erlauben Planetenbahnen zu vergleichen.

Bei der Angabe von Bahnelementen wird deshalb auch oft anstatt von \(t_0\), \(T\)oder \(M_0\), \(\dot{M}\)das Parameterpaar \(L_0\), \(\dot{L}\)angegeben. Die mittlere Länge kann daraus über
$$ L=L_0+\dot{L}t $$
errechnet werden.

Anstatt der drei Winkel \(\Omega\), \(i\), \(\omega\)wird auch oft \(\tilde{\omega}\), \(i\), \(\Omega\)verwendet.

Es sei noch einmal darauf hingewießen, daß die geometrische Interpretation als heliozentrische Länge des Planeten für \(L\)und als heliozentrische Länge des Perihels für \(\tilde{\omega}\)nur zulässig ist für kleine Inklinationen und nahezukreisförmige Bahnen. Wenn dies nicht der Fall ist, dann sind 29 30 einfach als Definitionsgleichungen zu verstehen.

Abbildung 19: Die Lage der Planetenbahnebene wird durch durch die Winkel \(\Omega\), \(i\)und \(\omega\)festgelegt.
Kalendersysteme Koordinatensysteme

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