Kalendersysteme

• Jahre und Tage
• Der Julianische Kalender
• Der Gregorianische Kalender
• Das Julianische Datum
  • Julianischen Datums am 1.1 eines Jahres 12 Uhr UT
  • Julianische Datums zu einem beliebigen Zeitpunkt
  • Alternative Formel

Im täglichen Leben benutzen wir den Gregorianischen Kalender , um Datumsangaben zu machen. Im Alltag ermöglicht es uns dieser Kalender mit seinen Zeitabschnitten Jahr, Monat und Tag Datumsangaben sinnvoll einzuordnen. Für eine Verwendung in der Ephemeridenrechnung ist der Gregorianische Kalender aber eher ungeeignet. So ist es z.B. schwierig die Zahl der Tage zwischen zwei Datumsangaben anzugeben. Dies liegt einfach daran, daß Monate eine unterschiedliche Zahl von Tagen haben und man manchmal auch noch Schalttage hat.

In der Ephemeridenrechnung ist es deshalb üblicher das Julianische Datum zu benutzen. Darunter versteht man einfach die Zahl der Tage, welche seit dem 1. Januar 4713 v. Chr. 12:00 Uhr vergangen sind. Wir wollen uns im folgenden mit der Umrechnung des Gregorianisches Datums in das Julianische Datum befassen. Um die entsprechende Umrechung durchführen zu können, müßen wir uns aber erst etwas grundsätzlicher mit den alltäglichen Begriffen wie Jahr und Tag befassen.

Jahre und Tage

Wahrer Sonnentag:

Der Tag ist wohl eine der natürlichsten Zeiteinheiten, welche dem Menschen zur Verfügung steht. Am Mittag um 12 Uhr Ortszeit hat die Sonne ihren höchsten Stand erreicht. Als Wahren Sonnentag definieren wir den Zeitraum zwischen zwei aufeinanderfolgenden Sonnenhöchstständen (Kulmination). Die Länge eines Sonnentages hängt zum einen natürlich von der Rotationsgeschwindigkeit der Erde um ihre eigene Achse ab. Zum anderen legt die Erde aber auch noch eine Wegstrecke auf ihrem Weg um die Sonne zurück. Deshalb hängt die Dauer eines Sonnentags sowohl von der Rotationsgeschwindigkeit der Erde um sich selbst als auch von der Rotationsgeschwindigkeit der Erde um die Sonne ab. Siehe hierzu auch das Kapitel Sonnentag und Sterntag .

Mittlerer Sonnentag:

Wahre Sonnentage sind nicht immer gleich lang. Dies liegt daran, daß die Bahn der Erde um die Sonne kein exakter Kreis sondern eine Ellipse ist. Dadurch schwankt der Abstand der Erde zu Sonne und insbesondere schwankt auch die Geschwindigkeit mit welcher sich die Erde um die Sonne bewegt. Ein weiterer Grund liegt in der Neigung der Erdachse zur Ekliptik. Aufgrund der unterschiedlichen Neigung von Äquatorebene und Ekliptik nimmt die Rektaszension der Sonne nicht gleichmäßig zu. Da man aber doch Tage von gleicher Länge haben will, mittelt man die Wahren Sonnentage über ein Jahr. Der gemittelte Tag wird als Mittlerer Sonnentag bezeichnet. Der Mittlere Sonnentag entspricht dem Tag mit seinen 24 h welchen wir im Alltag benutzen. Siehe hierzu auch Kapitel Wahre und Mittlere Sonne . Im folgenden werden wir die Zeitdauer eines Mittleren Sonnentags als \(T_{day}\)bezeichnen und setzen \(T_{day}=1\mbox{d}\)(d für Day).

Sterntag:

Ein Sterntag (englisch: sidereal day) ist definiert als die Zeit, welche zwischen zwei aufeinander folgenden Kulminationen des Frühlingspunkts (siehe Frühlingspunkt ) vergeht. Den Frühlingspunkt kann man sich als weit von Sonne und Erde entfernten Punkt vorstellen. Die Bewegung der Erde um die Sonne ist deshalb für den Sterntag zu vernachlässigen. Die Dauer eines Sterntags entspricht also im wesentlichen der Rotationsdauer der Erde um die eigene Achse.

Zwischen Sterntag und Sonnentag besteht eine Beziehung. Es sei \(T_{year}\)die Dauer eines tropischen Jahrs und \(T_{sidereal}\)die Dauer eines Sterntags. Während eines Jahrs dreht sich die Erde dann \(T_{year}/T_{sidereal}\)mal um die eigene Achse. Würde man die Eigenrotation der Erde anhalten, so würde wegen der Bewegung der Erde um die Sonne innerhalb eines Jahres die Sonne trotzdem einmal auf- bzw. untergehen. Dabei würde die Sonne dann aber im Osten untergehen. Innerhalb einer Jahres hat man also effektiv \(T_{year}/T_{sidereal}-1\)Sonnentage. Damit ergibt sich für die Dauer des Mittleren Sonnentags \(T_{day}\)

$$\begin{eqnarray*} T_{day}&=&\frac{T_{year}}{T_{year}/T_{sidereal}-1}\\ \frac{1}{T_{sidereal}}&=&\frac{1}{T_{day}}+\frac{1}{T_{year}}. \end{eqnarray*}$$

Mit \(T_{year}=365.24219052\mbox{d}\)ergibt sich \(T_{sidereal}=0.99726956635\mbox{d}\)(das sind 23 Stunden, 56 Minuten und 4.091 Sekunden).

Der Länge eines Sterntags verändert sich im Laufe der Zeit etwas, da sich aufgrund von Präzession und Nutation der Frühlingspunkt verschiebt.

Siderische Tag:

Ein Siderischer Tag (englisch: stellar day) ist ähnlich definiert wie ein Sterntag. Anstatt des Frühlingspunkts zur Messung einer Erdrotationsperiode wird hier allerdings ein weit entfernter bewegungsloser Fixstern benutzt. Beim Siderischen Tag entfällt hierdurch der Einfluß von Präzession und Nutation. Da Präzession und Nutation sich nur für lange Zeiträume auswirken, unterscheiden sich der Sterntag und der Siderische Tag nur wenig voneinander.

Tropisches Jahr:

Das Tropische Jahr ist definiert als die Zeit, welche zwischen zwei aufeianderfolgenden Durchgängen der Erde durch den Frühlingspunkt vergeht. Die Länge eines tropischen Jahrs beträgt \(T_{year}=365.24219052\mbox{d}\)(das sind 365 Tage, 5 Stunden, 48 Minuten und 45,261 Sekunden).

Siderisches Jahr:

Das Siderische Jahr ist ähnlich definiert wie das Tropische Jahr . Beim Siderischen Jahr wird allerdings die Lage der Erde zu einem weit entfernten bewegungslosen Fixstern betrachtet. Wenn die Erde wieder die selbe Lage zu diesem Fixstern hat, so ist ein Siderisches Jahr vergangen. Beim Siderischen Jahr entfällt also der Einfluß von Präzession und Nutation Da Präzession und Nutation sich nur für lange Zeiträume auswirken, unterscheiden sich das Tropisches Jahr und das Siderische Jahr nur wenig.

Der Julianische Kalender

Die Schaltjahrproblematik in der Kalenderrechnung resultiert aus der Tatsache, daß ein Jahr \(T_{year}=365.24219052\mbox{d}\)eben nicht ein ganzzahliges Vielfaches eines Tages ist. Der Julianische Kalender (nicht zu verwechseln mit dem Julianischen Datum ) versucht dieses Problem zu lösen, indem er mit Jahren von 365 Tagen Länge arbeitet. Zusätzliche wird dann jedes 4. Jahr ein Schalttag eingeschoben wird. Damit dauert ein Julianisches Jahr im Mittel \(T_{jul}=365.25d\). Der Julianische Kalender wurde von Julius Caesar eingeführt. Man wendet ihn heute aber auch für die Zeit vor Caesar an.

Der Gregorianische Kalender

Der Gregorianische Kalender wird von uns heute noch im Alltag benutzt. Er wurde als Nachfolger des Julianischen Kalenders eingeführt, da beim Julianischen Kalender die mittlere Dauer eines Jahrs von der Dauer des Tropischen Jahrs um \(T_{jul}-T_{year}\approx 11 \mbox{min}\)abweicht.

Bei Verwendung des Julianischen Kalenders verschiebt sich also schon nach etwa 130 Jahren der Frühlingsbeginn (Durchgang der Sonne durch den Frühlingspunkt) um einen Tag. Im Laufe der Zeit würden sich also die Jahreszeiten verschieben.

Zur Vermeidung dieser Verschiebung wurde der Gregorianische Kalender eingeführt, welcher eine verbesserte Schaltjahresregelung benutzt: Beim Gregorianischen Kalender ist ein Jahr dann ein Schaltjahr, wenn es

• durch 4 teilbar ist (wie beim Julianische Kalender )
• es aber nicht durch 100 teilbar ist
• durch 400 teilbare Jahre sind immer Schaltjahre.

Damit ergibt sich im Gregorianischen Kalender eine durchschnittliche Länge des Jahres von \(T_{greg}=365\mbox{d} + (1/4 - 1/100 + 1/400)\mbox{d} = 365.2425\mbox{d}\), womit das Tropische Jahr schon besser approximiert wird.

Der Gregorianische Kalender wurde von Papst Gregor XII eingeführt. In seiner päpstlichen Bulle Inter gravissimas vom 24. Februar 1582 bestimmte Papst Gregor XIII , daß im Jahre 1582 10 Tage zu überspringen sind. Auf den 4. Oktober sollte gleich der 15. Oktober folgen. Die 10 Tage wurden übersprungen, um die durch den Julianischen Kalender verursachte Verschiebung auszugleichen. Durch die Verschiebung begann der Frühling dann wieder am 21. März.

Das Julianische Datum

• Julianischen Datums am 1.1 eines Jahres 12 Uhr UT
• Julianische Datums zu einem beliebigen Zeitpunkt
• Alternative Formel

Das Julianische Datum wird häufig in der Emphemeridenrechnung benutzt, da es frei von Unregelmäßgkeiten wie Monaten mit einer unterschiedlichen Zahl von Tagen oder von Schaltjahren ist. Es ist definiert als die Zahl der Tage, welche seit dem 1. Januar −4712 (4713 v. Chr.) 12:00 Uhr Weltzeit vergangen sind.

Nun haben wir alle Grundlagen zusammen, um uns mit der Berechnung des Julianischen Datums aus dem Kalenderdatum ( Gregorianischer Kalender oder vor 1582 der Julianische Kalender ) zu befassen.

Julianischen Datums am 1.1 eines Jahres 12 Uhr UT

Wir berechnen zunächst das Julianische Datum am 1. Januar eines beliebigen Jahres für 12 Uhr UT (Weltzeit). Im Julianischen Kalender müßen wir dazu einfach die mittlere Dauer eines Julianischen Jahrs mit der Jahreszahl multiplizieren. Dazu kommt noch ein Offset, da wir im Jahr -4712 die Tage zu zählen beginnen. Als ersten Ansatz können wir für das Julianische Datum am 1.1 12:00 Uhr UT des Jahres \(y\)also schreiben Nun ist im Julianischen Kalender ein Jahr entweder 365 Tage lang oder eben 366 (Schaltjahr). Wir müßen die Formel also noch durch Verwendung der int-Funktion diskretisieren Man überzeigt sich leicht, daß für \(y=-4711\)man \(\mathrm{JD}_0=366\)erhält, was ja auch korrekt ist, da das Jahr -4712 ein Schaltjahr ist.

Wir müßen nun noch den Gregorianischen Kalender einführen. Dazu addieren wir einen Korrekturtem \(B\), welcher die Anzahl der Tag angibt, um welche sich Gregorianischer und Julianischer Kalender unterscheiden. Durch den Zeitsprung von 10 Tagen gilt für das Datum 15.10.1582 zunächst \(B=-10\). Da der Gregorianische Kalender weniger Schaltjahre besitzt verringert sich der Korrekturterm in jedem 100er Jahr welches nicht durch 400 teilbar ist um einen weiteren Tag. Wir müssen also \(12-\mbox{int}(y/100)+\mbox{int}(y/400)\)zu B addieren. Der Offset 12 ergibt sich aus \((1582/100)-\mbox{int}(1582/400)=12\).

Damit ergibt sich insgesamt:

Julianische Datums zu einem beliebigen Zeitpunkt

Aufbauend auf den Ergebnissen des vorherigen Abschnitts wollen wir nun das Julianische Datum zu einem beliebigen Zeitpunkt berechnen.

Dazu definieren wir uns zuerst eine Funktion \(\mbox{days}(m)\), welche die Anzahl der Tage eines Monats \(m\)liefert (ohne Berücksichtigung von Schaltjahren). Also \(\mbox{days}(1)=31\), \(\mbox{days}(2)=28\), \(\mbox{days}(3)=31\), \(\mbox{days}(4)=30\)usw.

Wenn in einem Jahr \(m\)Monate vergangen sind, dann ergibt sich die Zahl der Tage in diesen Monaten zu: Für ein Datum \(d.m.y\)(z.B. für 12.3.2004 ist \(d=12, m=3, y=2004\)) in einem beliebigen Jahr, wobei im fraglichen Jahr der 28. Februar noch nicht überschritten sein darf, können wir nun das Julianische Datum berechnen: Dabei ist \(UT\)die Weltzeit gemessen in Stunden.

Wenn \(y\)kein Schaltjahr ist, dann gilt diese Formel auch für ein Datum nach dem 28. Februar des Jahrs \(y\).

Für ein Schaltjahr muß ein zusätzlicher Tag addiert werden. \(\mbox{JD}_0(y+1)-365\)ist, falls \(y\)kein Schaltjahr ist, mit \(\mbox{JD}_0(y)\)identisch. Falls \(y\)ein Schaltjahr ist, gilt \(\mbox{JD}_0(y+1)-365=\mbox{JD}_0(y)+1\).

Damit können wir insgesamt schreiben:

Alternative Formel

In der Wikipedia finden sie eine alternative Formel zur Berechnung des Julianischen Datums . Diese Formel ist etwas einfacher, weil man sich die etwas umständliche Summierung über die Tage der Monate \(\mbox{Days}(m)\)spart. Ich habe allerdings nie verstanden, warum die alternative Formel funktioniert, und verwende sie deshalb eher ungern.