Ephemeridenberechnung
Ephemeridenberechnung → Kreisförmige Planetenbahn
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Kreisförmige Planetenbahn

Im Folgenden werde ich Ihnen eine einfache Methode zur Planetenpositionsberechnung vorstellen.

Mit Hilfe dieser Methode werden Sie in der Lage sein eine Planetenposition mit einfachen Hilfsmitteln zu berechnen.

Dabei werden Sie nicht einfach Zahlen in Ihnen unbekannte Formel eintragen, stattdessen geht es darum die Berechnung wirklich zu verstehen. Am Ende können Sie sich eine Online-Sternkarte mit der berechneten Planetenposition zeichnen lassen. Diese können Sie sich ausdrucken und dann am Nachthimmel kontrollieren, ob die Rechnung korrekt war.

Bezüglich Mathematik und Physik beschränke ich mich auf das, was aus der Schule bekannt sein sollte.

Damit die Berechnungen einfach bleiben sind einige Vereinfachungen notwendig: So gehen wir im folgenden von kreisförmigen Planetenbahnen aus, was die mathematischen Berechnungen stark vereinfacht. Eigentlich folgen die Planeten ellipsenförmigen Bahnen. Doch wenn wir nur Venus oder Mars mit bloßem Auge beobachten wollen, dann ist die Genauigkeit, welche wir mit dieser Vereinfachung erreichen, immer noch ausreichend.

Bei den physikalischen Grundlagen werde ich auch Abstriche machen müssen, so dass Fragen offen bleiben.

Ich hoffe, dass Sie sich mit diesen offenen Fragen nicht einfach abfinden, sondern dass ich Sie hinreichend motiviert habe sich mit dem Thema weiter zu befassen.

Der letzte Abschnitt Mathematische Ableitung in diesem Kapitel leitet die kreisförmige Planetenbahn mathematisch aus dem Gravitationsgesetz und den Newtonschen Axiomen ab. Wenn Sie nur an der Positionsberechnung interessiert sind, dann müssen Sie diesen Abschnitt nicht unbedingt lesen. Die Mathematik in diesem Abschnitt ist aber sehr einfach, so dass zumindest ein Versuch nicht schaden kann. Wenn Sie an solchen Berechnungen Spaß haben, können Sie mit dem nächsten Kapitel Elliptische Planetenbahn fortfahren.

Physik der Planetenbewegung

Universum 1: Nur die Erde

Die Planeten (z.B. Venus, Erde oder Mars) kreisen um die Sonne. Das wissen Sie hoffentlich noch aus dem Schulunterricht. Warum tun Sie das eigentlich?

Nun, das liegt an den Kräften, welche auf die Planeten wirken. Nehmen wir zuerst einmal an, das Universum bestünde nur aus der Erde: Im Prinzip eine gigantische Kugel mit einem Durchmesser von 12700 km und einer Masse von \(5.9 10^{24}\)kg. Was würde passieren? Die Antwort ist: Nichts würde passieren.

Stünde die Erde irgendwo im Universum still, dann würde sie auch weiterhin für alle Zeit still stehen.

Hätte sie von Anfang an eine Geschwindigkeit, dann würde sie sich für alle Zeit mit dieser Geschwindigkeit bewegen. Warum sollte sie auch etwas anderes tun? In einem solch leeren Universum gäbe es ja niemanden, welcher eine Kraft auf die Erde ausüben könnte.

Da das Weltall ja luftleer ist, gibt es auch keinerlei Reibung, welche die Erde irgendwie bremsen könnten.

Abbildung 1: Ein langweiliges Modell des Universums

Die Newtonschen Axiome

Das Verhalten dieser hypothetischen Erde wird durch das erste Newtonsche Axiom das Trägheitsgesetz beschrieben. Dieses besagt, dass ein Körper seinen Bewegungszustand (Richtung und Geschwindigkeit) beibehält, wenn keine Kraft auf ihn wirkt.

Jaja, ich weiß, das ist jetzt schon wieder diese Physikersprache, welche da von Körpern und Bewegungszuständen spricht. Ein auf den ersten Blick merkwürdige Sprache, welche aber ihre Berechtigung hat: Für das 1. Newtonsche Axiom ist es eben völlig irrelevant ob da ein Apfel, eine Gurke oder die Erde durch das Universum fliegt. Das Axiom ist universal, es gilt für alle Körper.

Es gibt noch 3 weitere Newtonsche Axiome, welche das Verhalten von Körpern unter einem Krafteinfluss beschreiben. So besagt das 2. Newtonsche Axiom, dass ein Körper in Richtung der Kraft, welche auf ihn wirkt beschleunigt wird. Die Größe der Beschleunigung ist dabei umso größer, je größer die Kraft ist. Gleichzeitig gilt, dass schwere Körper (große Masse) bei gleicher Kraft weniger stark beschleunigt werden als leichte Körper.

Die 4 Newtonsche Axiome sind ein Regelwerk mit Hilfe dessen man die Bewegung beliebiger Körper unter einem Krafteinfluss berechnen kann.

Interessant zu erwähnen ist noch die Tatsache, dass die Newtonschen Axiom quasi vom Himmel fallen. D.h. diese Axiome können nicht in einem mathematischen Sinn bewiesen werden. Es sind einfach Erfahrungstatsachen, welche die Welt in bestimmten Grenzen richtig beschreiben.

Universum 2: Erde und Sonne

Wir erweitern nun unser Universum um die Sonne. Geometrisch betrachtet ist die Sonne eine Kugel mit 110 fachem Erddurchmesser: 1.4 Millionen km. Die Sonne ist ungefähr 150 Millionen km von der Erde entfernt.

Wenn wir die Sonne gedanklich auf eine Kugel mit 70 cm Durchmesser schrumpfen lassen würden, dann würde sich die Erde in 75 m Entfernung von der Sonne befinden und sie hätte dann selbst einen Durchmesser von 0.63 cm. Stellen Sie sich die Sonne als Gymnastikball an einem Elfmeterpunkt eines Fußballfeldes vor und die Erde als Erbse am anderen Elfmeterpunkt: Jetzt haben Sie einen Eindruck von den Größenverhältnissen im Sonnensystem (Mit einem Fußball funktioniert das Modell nicht, der hat nur einen Durchmesser von 21 cm).

Abbildung 2: Zum Größenvergleich von Erde und Sonne: Stellen Sie sich die Sonne als Gymnastikball an einem Elfmeterpunkt vor und die Erde als Erbse am anderen Elfmeterpunkt.
Unser Universum besteht nun aus zwei Himmelkörpern: der Erde und der Sonne. Wenn wir es dabei belassen würden, dann wäre unser Universum noch immer ziemlich langweilig und unrealistisch: Erde und Sonne würden sich gemäß des Newtonschen Tragheitsaxioms verhalten. Stünden beide still so würden sie bis in alle Ewigkeit stillstehen.

Abbildung 3: Unser Universum besteht nun aus Sonne und Erde.

Gravitation

Eine entscheidende Komponente fehlt noch, damit unser Modell der Planetenbewegung realistisch wird: Die Gravitation.

Alle Körper ziehen sich gegenseitig an. Die Gravitationskraft ist dabei umso größer je größer die Massen der Körper sind. Andererseits gilt, dass je weiter die Körper von einander entfernt sind umso kleiner ist die Gravitationskraft.

Die Gravitation wirkt zwischen allen massereichen Körpern: Wenn Sie in die eine Hand ein Glas Wasser nehmen und in die andere Hand Ihr Smartphone, dann ziehen sich beide Gegenstände an. Die Gravitationskraft ist in diesem Fall allerdings so klein, so dass sie im Alltag praktisch nichts davon bemerken. Erst bei viel größeren Massen wird die Gravitation spürbar. Dass macht sich dann aber auch in Ihrem Alltag bemerkbar: Wenn Sie einen Kasten Wasser tragen, dann ziehen sich der Wasserkasten und die Erde gegenseitig an. Die Masse der Erde ist riesig und die Gravitationskraft dann entsprechend groß.

Die Gravitationskraft ist im Grunde eine ziemlich merkwürdige Angelegenheit: Man kann sie mathematisch sehr gut mit dem Gravitationsgesetz beschreiben. Aber dieses Gesetz ist ähnlich wie die Newtonschen Axiome nicht aus anderen Prinzipien ableitbar. Es fällt quasi vom Himmel. Man muss es einfach als Erfahrungstatsache akzeptieren.

Wenn Sie in Ihrem Alltag eine Kraft auf ein Gegenstand ausüben wollen, dann könnten Sie z.B. dagegen boxen. Bei der Gravitationskraft braucht es so etwas wie eine Berührung dagegen nicht. Zwischen Sonne und Erde wirkt die Gravitation obwohl zwischen beiden Himmelskörpern einfach nichts ist. Das ist fast schon unheimlich.

Universum 3: Erde, Sonne und Gravitation

Zurück zu den Planetenbahnen: Sonne und Erde ziehen sich durch die Gravitationskraft gegenseitig an.

Abbildung 4: Ein Universum aus Sonne, Erde und der Gravitationskraft die zwischen beiden wirkt.
Die Sonne ist 333333 fach schwerer schwerer als die Erde. Deshalb ist (im Vergleich zur Erde) die Wirkung der Gravitationskraft auf die Sonnenbahn zu vernachlässigen. Im Folgenden können Sie sich die Sonne einfach als in der Mitte des Sonnensystem angeschraubt denken.

Die Erde dagegen wird durch die Gravitationskraft dauernd in Richtung der Sonne beschleunigt. Warum ist dann die Erde noch nicht in die Sonne gestürzt?

Nun, wenn Sie zu einem beliebigen Zeitpunkt die Erde betrachten, dann werden Sie feststellen, dass die Erde sich mit konstanter Geschwindigkeit in Richtung senkrecht zur Verbindung Erde-Sonne bewegt. Sie hat aber keine Geschwindigkeit in Richtung der Sonne. Allerdings wird sie in Richtung der Sonne beschleunigt, wodurch sich eigentlich eine Geschwindigkeit in Richtung Sonne herausbilden würde, wenn nicht gerade durch die zusätzliche Bewegung senkrecht zur Verbindung Erde-Sonne dafür gesorgt würde, dass einen Zeitpunkt später, man wieder genau zur selben Situation kommt: Die Erde hat eine Geschwindigkeit senkrecht zur Verbindung Erde-Sonne und wird in Richtung der Sonne beschleunigt. Im Ergebnis ergibt sich eine stabile Kreisbahn.

Klingt komisch? Mag sein, ist es aber nicht. Im Unterschied zu den newtonschen Axiomen und dem Gravitationsgesetz ist diese Bahnform etwas sehr einleuchtendes. Man kann diese Bahnform mathematisch beweisen. Am Ende dieses Kapitels finden sich ein einfache Ableitung der Kreisbahn, siehe Mathematische Ableitung ).

Berechnung der Planetenposition

Das Heliozentrisch ekliptikale Koordinatensystem

Im folgenden gehen wir von kreisförmigen Planetenbahnen aus. Außerdem nehmen wir an, dass alle Planeten sich innerhalb derselben Ebene um die Sonne bewegen. Beide Annahmen stimmen nicht ganz. Aber für die hier geforderte Genauigkeit der Berechnung (Beobachtung mit bloßem Auge) sind diese Vereinfachungen möglich.

Abbildung 5: Planet und Sonne
Zur Beschreibung einer Planetenposition wollen wir nun das heliozentrisch ekliptikale Koordinatensystem (siehe Abbildung 5 ) einführen. Dazu legen wir den Ursprung eines kartesischen Koordinatensystem in die Sonne. Die X-Y-Ebene stimmt mit der Bahnebene der Erde (und in unserer einfachen Näherung mit der Bahnebene aller Planeten) überein. Diese Ebene wird als Ekliptikalebene bezeichnet. Die X-Achse lassen wir auf den Frühlingspunkt zeigen.

Der Frühlingspunkt ist eine ausgezeichnete Richtung im Sonnensystem. Wie der Frühlingspunkt definiert ist erfahren Sie im folgenden Anschnitt.

Wir können die Position eines Planeten nun also durch die Angabe der kartesischen Koordinaten x und y angeben.

In der Astronomie werden meist aber Polarkoordinaten bevorzugt. Die Polarkoordinaten eines Planeten bestehen aus:
Symbol Bedeutung
\(r\)Abstand zur Sonne
\(L\)Heliozentrische Länge \(L\)gemessen gegen den Uhrzeigersinn ausgehend von der X-Achse (Frühlingspunktrichtung) zum Planeten. \(L\)wird meist in Grad gemessen.
Kartesische Koordinaten oder Polarkoordinaten sind gleichwertig. Was man bevorzugt hängt meist vom Verwendungszweck ab.

Frühlingspunkt

Die Abbildung 6 skiziert die Bahn der Erde um die Sonne.

Abbildung 6: Ekliptik und Frühlingspunkt.
Die Ebene innerhalb welcher sich die Erde bewegt wird als Ekliptikalebene (die graue Ebene) bezeichnet. Wie Sie aus der Abbildung ersehen können steht die Rotationsachse der Erde nicht senkrecht auf der Ekliptikalebene. Oder anders ausgedrückt: Die Äquatorebene der Erde (blaue Ebene durch die Erde) und die Ekliptikalebene schneiden sich in einem Winkel von 23.5 Grad.

Interessant ist, dass die Erdachse ihre Richtung im Raum während eines Umlaufs der Erde um die Sonne nicht verändert (unter Vernachlässigung der Präzession). Die Position (Ort) der Erdachse verändert sich natürlich. Aber die Richtung im Raum ist immer dieselbe.

Am 21.6 ist die Rotationsachse der Erde auf der Nordhalbkugel der Sonne zugewandt. Die Sonnenstrahlen treffen in einem eher steilen Winkel auf die Oberfläche. Es ist also Sommer. Im Winter ist die Rotationsachse von der Sonne abgewandt und die Sonnenstrahlen treffen in einem flachen Winkel auf die Oberfläche. Es ist Winter.

Wenn sich zwei Ebenen schneiden entsteht eine Schnittlinie. Am 21.3 stimmt die Schnittlinie von Äquatorebene und Ekliptikalebene genau mit der Verbindung Erde-Sonne überein. Von der Erde aus gesehen steht die Sonne dann im sogenannten Frühlingspunkt.

Am 23.9 ist die Erde dann 180 Grad weiter gewandert und es ergibt sich eine äquivalente Situation. Von der Erde aus gesehen steht die Sonne dann im sogenannten Herbstpunkt.

Diese ausgezeichneten Positionen eignen sich, um damit die Achsen des heliozentrischen Koordinatensystems festzulegen. Der Ursprung des heliozentrischen Koordinatensystems liegt in der Sonne. Die X-Achse zeigt zum Frühlingspunkt und die Y-Achse liegt dann eben 90 Grad gedreht in der Ekliptikalebene. Üblicherweise werden anstatt der kartesischen Koordinaten x,y,z die Kugelkoordinaten \(r\)und \(L\)in der Astronomie bevorzugt. In diesem Fall misst man den Winkel \(L\)(heliozentrische Länge) ausgehend von der X-Achse entgegen dem Uhrzeigersinn.

Präzession

Der Frühlingspunkt wird auch Widderpunkt genannt. Dies liegt daran, dass, wenn Sie von der Erde aus in Richtung des Frühlingspunkts schauen, das Sternbild Widder zu sehen ist. Naja, zumindest vor 2000 Jahren als diese Bezeichnung entstand war das so. Heute liegt der Frühlingspunkt im Sternbild der Fische.

Dass der Frühlingspunkt wandert liegt daran, dass die Richtung der Erdachse doch nicht so konstant ist wie vorher behauptet. Innerhalb von ungefähr 25800 Jahren führt die Erdachse eine Kreiselbewegung, genannt Präzession, aus. Deshalb ändert sich auch die Frühlingspunkrichtung. Innerhalb von 25800 Jahren rotiert die Frühlingspunktrichtung einmal um 360 Grad. Pro Jahr beträgt die Verschiebung des Frühlingspunkts etwa 50 Bogensekunden.

Bahnelemente

Als nächstes müssen wir uns die Formeln zur Berechnung der heliozentrischen Planetenkoordinaten \(r\)und \(L\)überlegen. Für unsere Kreisbahn ist dies einfach: Die Parameter um zu einem Zeitpunkt \(T\)die Koordinaten eines Planeten berechnen zu können werden als Bahnelemente bezeichnent. Hier sind das:
Symbol Bedeutung
\(r\)Der Abstand zur Sonne
\(L_0\)Heliozentrische Länge zu einem Referenzzeitpunkt (üblich ist z.B. der 1.1.2000)
\(\dot{L}\)Umlaufgeschwindigkeit (=Winkelgeschwindigkeit gemessen meist in Grad pro Jahrhundert)
\(T\)ist die seit dem Referenzeitpunkt vergangene Zeit.
Symbol Bedeutung
\(T\)Seit dem Referenzzeitpunkt (1.1.2000) vergangene Zeit. Als Maßeinheit sind Tage oder auch Jahrhunderte beliebt.

Zeitrechnung

Wir beginnen unsere Berechnung nun mit der seit dem Referenzzeitpunkt vergangenen Zeit \(T\)in Jahrhunderten. Der Referenzeitpunkt ist der 1.1.2000. Der 1.1.2000 ist nicht willkürlich gewählt, sondern es handelt sich um die astronomische Standardepoche J2000.

Dass man die vergangene Zeit in Jahrhunderten bemisst ist jetzt keine persönliche Schikane des Autoren sondern eine in der Astronomie übliche Vorgehensweise.

Um die seit dem 1.1.2000 vergangene Zeit zu ermitteln müssen Sie also die seither verhangenen Tage zählen und dann durch 36525 teilen (Ein Jahr ist 365.25 Tage lang multipliziert mit 100 ergibt 36525). Dann zählen Sie mal schon. Zu Kontrolle können Sie Ihr Ergebnis hier kontrollieren:
Tag:
Monat:
Jahr:
\( T \):

Heliozentrisch ekliptikale Koordinaten

So, nun habe wir alles notwendige um die Erdposition zu berechnen. Naja, die Zahlenwerte für die Bahnelemente \(L_0\)und \(\dot{L}\)fehlen noch. Für die Erde ist das recht einfach. Der Abstand zwischen Sonne und Planet wird in astronomischen Einheiten gemessen. Eine astronomische Einheit ist der Abstand von Sonne zu Erde. Also gilt für die Erde \(r=1\textrm{AE}\). Die Umlaufgeschwindigkeit der Erde ist
$$\begin{equation} \dot{L} \approx \frac{360 \textrm{Grad}}{\textrm{Jahr}} = \frac{360 \cdot 100 \thinspace \textrm{Grad}}{\textrm{Jahrhundert}} = \frac{36000 \thinspace \textrm{Grad}}{\textrm{Jahrhundert}} \end{equation}$$(2)
Was noch fehlt ist die mittlere Länge \(L_0\)am 1.1.2000, welche ungefähr 100 Grad betrug. Diese Behauptung können Sie auch leicht verifizieren: Am 21.3.2000 (Sonne steht im Frühlingspunkt) betrug die mittlere Länge der Erde 180 Grad. Dann betrug sie am Anfang des Jahres
$$\begin{equation} L_0 = 180^\circ - \frac{31+28+21}{365.25} 360^\circ \approx 100^\circ \end{equation}$$(3)
Damit können wir nun die mittlere Länge zu einem beliebigen Datum berechnen. Sie können die Berechnung leicht mit der nachfolgenden Tabelle durchführen.
Als nächstes berechnen wir die heliozentrischen Koordinaten des Planeten, den wir beobachten wollen. Ich folgenden nehme ich an, daß wir die Venusposition berechnen wollen. Mit der nachfolgenden Tabelle können Sie die Berechnung wieder vornehmen. Falls Sie einen anderen Planeten bevorzugen, können Sie ihn über die Dropdown-Eingabebox auswählen.

Geozentrisch ekliptikale Koordinaten

Abbildung 7: Geozentrisch eklipitkales Koordinatensystem.
Wir haben nun die Position von Erde und Venus im heliozentrisch ekliptikalen Koordinatensystem berechnet. Dieses Koordinatensystem hat die Sonne als Zentrum. Nun befinden wir uns allerdings auf der Erde, so dass uns diese Koordinaten, wenn wir in den Sternenhimmel schauen, nicht viel helfen.

Wir müssen die Koordinaten also umrechnen in ein Koordinatensystem, welches seinen Ursprung in der Erde hat. In der Astronomie gibt es mehrere Koordinatensystem mit Ursprung am Erde. Wir benutzen zunächst einmal das geozentrisch ekliptikale Koordinatensystem: In Abbildung 7 sind die X,Y,Z -Achsen des heliozentrisch eklipitikalen bzw. des geozentrisch ekliptikalen Koordinatensystem gezeichnet.

Wie schon im heliozentrisch ekliptikalen Koordinatensystem kann man auch im geozentrisch ekliptikalen Koordinatensystem entweder kartesische Koordinaten oder Polarkoordinaten benutzen.

Die Geozentrisch ekliptikalen Polarkoordinaten bestehen aus:
Symbol Bedeutung
\( \lambda_{\textrm{ecl}}\)Geozentrisch ekliptikale Länge. Dies ist der Winkel gemessen in der X-Y-Ebene, gegen den Uhrzeigersinn, ausgehend von der X-Achse zum Planeten. Der Winkel wird meist in Grad gemessen.
\( r \)Abstand zur Erde
Mit Hilfe von etwas Vektorrechnung kann man die heliozentrische Koordinaten ins geozentrische Koordinatensystem umrechnen.

Die Rechnung kann man sich aber auch ersparen, indem man einfach das Sonnensystem zeichnet und dann aus der Zeichnung die geozentrischen Koordinaten abliest. Wenn Sie Zeit haben, dann empfehle ich ihnen durchaus so etwas einmal praktisch durchzuführen. Man kann dabei etwas über die Größenverhältnisse im Sonnensystem lernen.

Für die Eiligen können wir das Zeichnen auch dem Browser überlassen. Klicken Sie einfach auf Sonnensystem zeichnen. Dann wird unser Sonnensystem von oben gezeichnet. Um die Erde wird noch eine Winkelskala angezeigt, so dass Sie die die geozentrisch ekliptikale Länge \(\lambda_\mathrm{ecl}\)der Venus bzw. der Sonne ablesen können.
Geozentrisch ekliptikale Länge \( \lambda_{\textrm{ecl}} \) Venus:
Geozentrisch ekliptikale Länge \( \lambda_{\textrm{ecl}} \) Sonne:
Wenn Sie sich schon etwas mit Sternkarten auskennen und eine Sternkarte oder ein entsprechendes Computerprogramm benutzen, dann sind Sie nun vielleicht schon fertig mit der Positionsberechnung: In den Sternkarten ist immer die Ekliptik (= scheinbare Bahn der Sonne um die Erde) eingezeichnet. Bei vielen Sternkarten finden Sie an der Ekliptik auch eine Gradskala für die geozentrisch ekliptikale Länge. Sie können diese Skala benutzen um die Sonnen- bzw. Venusposition einzutragen.

Geozentrisch äquatoriale Koordinaten

In der Astronomie benutzt man, um die Position eines Himmelsobjekts anzugeben, meist geozentrisch äquatoriale Koordinaten. Der Unterschied zwischen dem geozentrisch ekliptikalen und dem geozentrisch äquatorialen Koordinatensystem liegt in der Neigung der X-Y-Ebene. Beim äquatorialen Koordinatensystem ist die X-Y-Ebene mit der Äquatorialebene der Erde identisch: In Abbildung 8 sind die X,Y,Z-Achsen des geozentrisch ekliptikalen bzw. geozentrisch äquatorialen Koordinatensystems gezeichnet.

Abbildung 8: Geozentrisch äquatoriales Koordinatensystem.
Das geozentrisch äquatoriale Koordinatensystem ist gegenüber dem geozentrisch ekliptikalen um 23.5 Grad um die X-Achse gedreht.

Auch hier gilt wieder, dass man eine Position entweder durch kartesische Koordinaten oder durch Polarkoordinaten angeben kann. Genauer gesagt sind es hier nicht Polarkoordinaten sondern Kugelkoordinaten:
Symbol Bedeutung
\( \lambda_{\textrm{equ}}\), \(\alpha\)Geozentrisch äquatoriale Länge auch Rektaszension \(\alpha\)genannt. Dies ist der Winkel gemessen in der X-Y-Ebene, gegen den Uhrzeigersinn, ausgehend von der X-Achse zum Planeten. Der Winkel wird meist in Stunden und Minuten gemessen (360 Grad = 24h).
\( \beta_{\textrm{equ}}\), \(\delta\)Geozentrisch äquatoriale Breite auch Deklination \(\delta\)genannt. Ein Winkel, der ausgehend von der X-Y-Ebene gemessen wird und der den Winkelabstand zur Äquatorebene angibt. Gemessen wird meist in Grad von -90 Grad bis 90 Grad.
\( r \)Abstand zur Erde
Wie Sie sehen wird es meist nun dreidimensional: Ein Planet liegt i.a. nicht in der X-Y-Ebene des geozentrisch äquatorialen Koordinatensystems. Neben der Länge (Rektaszension) \( \lambda_{\textrm{equ}}\)wird deshalb auch ein Breitenwinkel (Deklination) \(\beta_{\textrm{equ}}\)(siehe Abbildung 9 ) benötigt.

Abbildung 9: Länge und Breite in Kugelkoordinaten.
Will Koordinaten vom geozentrisch ekliptikalen System in das geozentrisch äquatoriale System umrechnen, so benutzt man am besten kartesische Koordinaten, welche durch Anwendung einer Rotationsmatrix leicht in ein gedrehtes System umgerechnet werden können. Für die Umrechnung gilt dann:
$$\begin{eqnarray} x_{\textrm{equ}} & = & R_x(\epsilon) x_{\textrm{ecl}} \\ \begin{pmatrix} \cos \beta_{\textrm{equ}} \cos \lambda_{\textrm{equ}} \\ \cos \beta_{\textrm{equ}} \sin \lambda_{\textrm{equ}} \\ \sin \beta_{\textrm{equ}} \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \epsilon & - \sin \epsilon \\ 0 & \sin \epsilon & \cos \epsilon \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \beta_{\textrm{ecl}} \cos \lambda_{\textrm{ecl}} \\ \cos \beta_{\textrm{ecl}} \sin \lambda_{\textrm{ecl}} \\ \sin \beta_{\textrm{ecl}} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$$(4)
(5)
Symbol Bedeutung
\( x_{\textrm{equ}} \)Kartesische geozentrisch äquatoriale Koordinaten
\( x_{\textrm{ecl}} \)Kartesische geozentrisch ekliptikale Koordinaten
\( R_x(\epsilon) \)Rotationsmatrix
\( \lambda_{\textrm{ecl}}\)Geozentrisch ekliptikale Länge
\( \beta_{\textrm{ecl}}\)Geozentrisch ekliptikale Breite
\( \lambda_{\textrm{equ}}\)Geozentrisch äquatoriale Länge
\( \beta_{\textrm{equ}}\)Geozentrisch äquatoriale Breite
Wenn man sich nur für die Umrechnung von geozentrisch ekliptikaler Länge in geozentrisch äquatoriale Länge interessiert, dann vereinfacht sich diese Formel (mit ekliptikaler Breite \(\beta_{\textrm{ecl}}=0\), da sich in unserer Vereinfachung alle in der Ekliptikalebene bewegen) zu:
$$\begin{equation} \tan \lambda_{\textrm{equ}} = \cos \epsilon \tan \lambda_{\textrm{ecl}} \end{equation}$$(6)
Mit Hilfe dieser Formeln können wir nun konkret für Venus und Sonne die geozentrische äquatoriale Länge ausrechnen:
Objekt Ekliptikale Länge in Grad Äquatoriale Länge in Grad, Rektaszension Äquatoriale Länge in Stunden, Rektaszension
Sonne
Venus
Falls ihnen diese Formeln zu kompliziert sind, ist das auch kein Problem: Für unsere vereinfachte Rechnung können Sie auf die Umrechnung auch verzichten. Äquatoriale und ekliptikale Länge können nie um mehr als 10min voneinander abweichen.

Auf die Berechnung der geozentrisch äquatorialen Breite (Deklination) können wir erstmal verzichten:

Sternkarte

Drehbare Sternkarte

In diesem Abschnitt können Sie sich eine Sternkarte mit unseren berechneten Planetenpositionen zeichnen lassen. Das Javascript-Programm in Ihrem Browser versucht hier eine sogenannte drehbare Sternkarte zu simulieren. Wenn Sie schon etwas Astronomie Erfahrung haben, dann fühlen Sie sich hier hoffentlich heimisch.

So, hier ist die Karte:
Für die Neulinge wirkt die Karte zugegebenermaßen komplex. Aber keine Angst wird werden uns das Verständnis Schritt für Schritt erarbeiten.

Ich empfehle ihnen sich die Karte in einem neuen Fenster zeichnen zu lassen und dann parallel zum Text zu legen. Mit den Checkboxen können Sie jeweils Auswählen welche Bestandteile der Karte gezeichnet werden.

Nachdem Sie Änderungen an den Checkboxen gemacht haben, können Sie die Karte mit Update aktualisieren. In die Karte werden auch die vorher berechnete Sonnen- und Venusposition eingetragen. Wenn Sie Änderungen an den Paramtern zu Planetenpostionsberechnung vornehmen, dann müßen Sie die gesamte Karte mit Sternkarte zeichnen aktualisieren.

Falls Sie momentan keine Lust mehr auf weitere Erklärungen haben und lieber denn Weg nach draußen nehmen wollen, um Ihren Planeten zu finden, dann ist hier noch die Kurzanleitung zur Karte: Hier finden Sie eine Sternkarte bei der die Planetenpositionen einmal mit den genannten Näherungen berechnet wurden und bei der zusätzlich die genaueren Planetenpositionen, ermittelt über die Lösung der Kepler-Gleichung, enthalten sind.

Fixsterne

In eine Sternkarte gehören Sterne: Wenn Sie in der Sternkarte einmal alle Checkboxen bis auf Stars deaktivieren, dann werden nur noch die Sternbilder (Sterne verbunden mit Hilfslinien) gezeichnet. In der Mitte der Karte finden Sie den Polarstern im Sternbild kleiner Wagen. Den großen Wagen finden Sie gleich daneben.

Die Sterne werden auch als Fixsterne bezeichnet, weil ihre Position am Nachthimmel fix (fest) ist. Die Sterne bewegen sich zwar untereinander, aber Ihre Entfernung zur Erde ist so groß, dass wir diese Bewegung nicht wahrnehmen. Ebenfalls bewegt sich natürlich die Erde um die Sonne. Der Abstand Erde-Sonne ist aber winzig im Vergleich zum Abstand zu anderen Sternen, so dass auch diese Bewegung vernachlässigbar ist und die Sterne deshalb als fix erscheinen.

Formal kann man sagen Fixsterne haben konstante geozentrisch äquatoriale Koordinaten (das stimmt nicht ganz wegen der Präzession).

Bei Planeten und der Sonne ist dies nicht der Fall. Im Laufe des Jahres ändern diese ihre Koordinaten.

Himmelssphäre

Wie hängen jetzt die Sterne in unserer Karte mit den realen Sternen unseres Universums zusammen?

Um diese Frage zu beantworten schauen Sie sich einmal die Abbildung 10 an.

In der Mitte der Abbildung ist die Erde gezeichnet. Im Erdmittelpunkt befindet sich der Ursprung des geozentrisch äquatorialen Koordinatensystems (das Koordinatensystem dreht sich nicht mit der Erde mit). Sie können nun die Position eines Stern durch die kartesischen Koordinaten X,Y,Z angeben.

Abbildung 10: Sternenkarte.
Wenn Sie Sterne beobachten wollen sind kartesische Koordinaten eher unpraktisch. Sie interessieren sich hier eher für die Richtung in die Sie schauen müssen. Wir verwenden deshalb die Kugelkoordinaten und geben die Richtung in die wir schauen müssen über die zwei Winkel Rektaszension und Deklination an.

In der Abbildung 10 ist als Beispiel ein Stern mit Rektaszension 4h und Deklination 30 Grad eingezeichnet.

Vollständig sind die Kugelkoordinaten eigentlich erst, wenn auch noch die Entfernung \(r\)angegeben wird. Für das Auffinden eines Sterns mit dem Teleskop ist die Entfernung aber ziemlich egal, so dass diese meist weggelassen wird.

Wenn man die Entfernung weglässt, kann man sich die Sterne als auf einer Himmelssphäre aufgemalt denken: Die blaue Kugel in der Abbildung. Auf der Himmelsphäre sind zur Orientierung Kreise mit konstanter Deklination = Breitengrade und Kreise mit konstanter Rektaszenasion = Längengrade eingezeichnet. Die Erde dreht sich innerhalb der Kugel gegen den Uhrzeigersinn.

Projektion auf die Sternkarte

Zu Sternkarte kommen wir nun durch Projektion der Himmelsspähre auf eine zweidimensionale Fläche. In der Abbildung 10 ist das die graue Ebene oberhalb der Himmelsspähre. Wenn Sie jetzt gedanklich von unten auf die graue Fläche schauen, dann sehen das was in unserer Sternkarte gezeichnet ist.

Sie können nun in der drehbaren Sternkarte zusätzlich zur Checkbox Sterne die Checkbox Rectascension wählen: Nun sehen Sie die Rektaszensionsskala, also die geozentrisch äquatoriale Länge gemessen in Stunden. Die Deklination (Breite \(\beta\)gemessen in Grad) wird von außen nach innen gemessen. Im Zentrum findet man dann den Polarstern mit Deklination 90 Grad.

Zur Übung können Sie einmal versuchen den Stern Arktur zu finden. Arktur ist ziemlich hell. Am Sternenhimmel kann man ihn einfach finden indem man die Deichsel der großen Wagens verlängert. Die Koordinaten von Arktur sind ungefähr Wenn Sie auf Arktur klicken, dann wird zusätzlich noch ein Lineal eingezeichnet mit Hilfe dessen Sie die Deklination kontrollieren können.

Sie können sich in die Sternkarte auch noch den Himmelsäquator einzeichnen lassen (Checkbox Equator ). Dann wird der Breitengrad mit Deklination 0 als Kreis eingezeichnet.

Ekliptik

Jetzt gehen wir daran die Planetenpositionen in die Sternkarte einzutragen. Dazu benötigen wir als erstes den Begriff der Ekliptik.

Betrachten Sie hierzu noch einmal die Abbildung 6 , welche ja die Kreisbahn der Erde um die Sonne visualisiert. Dazu vergleichen Sie jetzt die Abbildung 10 , welche ja die Himmelskörper aus Sicht der Erde visualisiert: Aus Sicht der Erde sieht es so aus als ob die Sonne die Erde umkreisen würde.

Nun ist allerdings der Erdäquator gegenüber der Ekliptikalebene um 35.5 Grad geneigt. Das heißt auf der Himmelssphäre folgt die Sonne im Laufe eines Jahres der roten Bahn in Abbildung 10 . Diese scheinbare Bahn der Sonne um die Erde wird Ekliptik genannt.

Machen Sie sich ruhig einmal die Mühe die 4 ausgezeichneten Erd- bzw. Sonnenpositionen der Abbildungen 6 und 10 zueinander in Bezug zu setzen. Das ist etwas mühevoll aber doch sehr instruktiv.

In unsere Sternkarte können Sie sich die Ekliptik über die Checkbox Ecliptic einzeichnen lassen.

Sonnen und Venuspostion

Jetzt müssen wir nur noch die Sonnenposition und die Venusposition in die Karte eintragen. Dazu gibt es zwei Möglichkeiten:
  1. Wir gehen von der geozentrisch ekliptikalen Koordinaten aus, welche wir in Abschnitt Geozentrisch ekliptikale Koordinaten berechnet hatten. In die Sternkarte ist auf der Ekliptik eine Skala aufgezeichnet: Es handelt sich um die geozentrisch ekliptikale Länge. Nun können Sie die Sonne bzw. die Venus an der entsprechenden Stelle einzeichnen.
  2. Wir benutzen die geozentrisch äquatorialen Koordinaten aus Abschnitt Geozentrisch äquatoriale Koordinaten . Die Rektaszension können Sie an der Stundenskala der Sternkarte ablesen. Ziehen Sie gedanklich eine Linie von der Stundenskala zum Zentrum der Karte: Am Schnittpunkt mit der Ekliptik befindet sich dann die Sonne bzw. die Venus.
Markieren Sie die Checkbox Planets um Sonne und Venus in die Sternkarte einzutragen.

Nun wissen wir schon einmal in welchem Sternbild sich die Venus befindet. Wenn Sie sich mit Sternbildern etwas auskennen, dann können Sie nun nach draußen gehen und versuchen Ihre berechnete Planetenposition am Himmel zu finden.

Der sichtbare Sternenhimmel für Eskimos

Wie steht jetzt die Sternkarte in Bezug zu dem was wir am Sternenhimmel sehen, wenn wir nach draußen gehen?

Wir beantworten diese Frage erst einmal aus Sicht der Eskimos: Nehmen wir an Sie befinden sich am geographischen Nordpol. Wenn Sie dann genaue senkrecht nach oben sehen, dann sehen Sie den Polarstern über sich.

Die Situation ist in Abbildung 11 skizziert: Sie sehen wieder die Himmelssphäre und darin die Erde. Die Erde rotiert gegen den Uhrzeigersinn. Oder Sie betrachten die Erde als still stehend und die Himmelssphäre dreht sich im Uhrzeigersinn.

In der Abbildung ist nun mit roter Farbe der Bodenebene für einen Beobachter am Nordpol eingezeichnet: Der Sternenhimmel für einen solchen Beobachter sieht so aus, als wenn man im Zentrum der roten Ebene stehen würde.

Abbildung 11: Der Sternenhimmel für Eskimos.
In der Abbildung fällt ihnen vielleicht auf, dass diese Bodenebene durch das Erdzentrum geht, quasi also die Sicht eines Beobachters im Erdzentrum repräsentiert. Das ist eine Vereinfachung, die wir problemlos machen können, da der Sternenhimmel für einen Beobachter am Nordpol oder für einen im Erdzentrum identisch aussehen. Die Entfernung Nordpol-Erdzentrum ist winzig verglichen mit der Entfernung vom Erdzentrum zu einem Stern oder auch zu einem Planeten.

Wenn ein Beobachter am Nordpol also den Bezug zwischen Sternkarte und realem Sternenhimmel herstellen will, dann muss er eigentlich nur dir Sternkarte genau über seinen Kopf halten. Dann befindet sich im Zentrum der Karte der Polarstern, denn er auch genau über sich sieht. Innerhalb eines Tages rotiert der Sternenhimmel dann um den Polarstern. Man müsste also nach oben auf die Sternkarte schauen und dann diese auch entsprechend rotieren.

Der Sternenhimmel für Deutschland

Jetzt können wir uns den Sternenhimmel für Deutschland überlegen. Der Unterschied zwischen Deutschland und dem Nordpol liegt im geographischen Breitengrad.

In Abbildung 12 sehen Sie die Situation für einen Ort 20 Grad unterhalb des Nordpols (geographische Breite 70 Grad). Das ist immer noch ziemlich nördlich (Hammerfest liegt auf dem 70. Breitengrad) hatte aber den Vorteil sich mit Povray besser visualisieren zu lassen als z.B. Berlin auf dem 52. Breitengrad.

Abbildung 12: Der Sternenhimmel für Hammerfest.
In die Abbildung ist wieder die rote Bodenebene eingezeichnet. Diese ist jetzt um 20 Grad gedreht. In der Abbildung wurde die Drehung um die Y-Achse (des geozentrisch äquatorialen Koordinatensystems) vorgenommen. Man hätte aber genau so gut um die X-Achse oder eine Achse dazwischen drehen können: Im Laufe eines Tage dreht sich ja die Himmelssphäre.

Ein Beobachter auf der roten Ebene könnte nun auch Sterne sehen die sich bis zu 20 Grad unter dem Himmeläquator befinden (Deklination bis zu -20 Grad). Allerdings sind Sterne unterhalb einer Deklination von 20 Grad nun nicht immer sichtbar. Gemäß der Drehung der Himmelssphäre können Sie sich auch unterhalb der Beobachtungshorizonts befinden. Sterne mit einer Deklination größer als 20 Grad sind immer sichtbar, sie werden als zirkumpolar bezeichnet.

Egal wie die Himmelssphäre gerade steht, der Polarstern befindet sich aus Beobachtersicht nun immer im Norden.

Oberhalb der Himmelssphäre ist wieder die Sternkarte (graue Ebene) eingezeichnet. Der sichtbare Sternenbereich wird durch eine rote Horizontlinie markiert. Wenn Sie gedanklich von unten auf diese Ebene schauen, dann sehen die Sternkarte aus Abschnitt Drehbare Sternkarte .

Auch in die Sternkarte können Sie sich den Horizont einzeichnen lassen: Checkbox Horizont wählen. Der Horizont ist nun allerdings nicht für Hammerfest sondern für Berlin (52 Grad nördlicher Breite) eingezeichnet.

In unserer Sternkarte ist der Horizont so eingezeichnet, dass sich Süden unten befindet. Wenn Sie nach draußen gehen und nach Süden blicken, dann sehen Sie also die Sterne welche sich am unteren Rand des Horizonts der Sternkarte befinden. Wenn Sie sich für die Sterne im Westen interessieren, dann drehen Sie die gesamte Karte einfach um 90 Grad im Uhrzeigersinn.

Ein drehbare Sternkarte bauen

Nun reden wir dauern davon, dass sich die Himmelssphäre dreht. Dann wäre es allerdings auch schön zu wissen welchen Drehwinkel die Sphäre zu einem bestimmten Datum und Uhrzeit gerade hat.

Das lässt sich beantworten: Zusätzlich zum Horizont (blaue Farbe in Drehbare Sternkarte ) ist ebenfalls eine blaue Stundenskala an unserer Sternkarte angebracht.

Damit können Sie sich nun eine drehbare Sternkarte basteln: Drucken sich sich die Sternkarte ohne Horizont aus und dann zusätzlich nur den Horizont (mit Stundenskala) auf transparente Folie. Jetzt können Sie beides übereinander legen und durch Drehung des Horizonts die Drehung der Himmelssphäre (Erde) simulieren.

Auf die Bastelarbeit können Sie natürlich auch verzichten und stattdessen Datum und Uhrzeit in unsere Computer-generierte Karte eingeben: Der Horizont bzw. die Karte wird dann entsprechend gezeichnet.

Jetzt fehlen eigentlich nur noch zwei Sachen um eine drehbare Sternkarte korrekt einzustellen: Wie schnell dreht sich die Erde und eine Referenzposition für welchen wir die korrekte Stellung des Horizonts relativ zum Sternenhimmel kennen.

Sonnentag und Sterntag

Wir fangen mit der Drehung der Erde an: Jetzt denken Sie bitte nicht, dass sich die Erde in 24 Stunden einmal um ihre Achse dreht.

24 Stunden sind definiert als die Zeit zwischen zwei Sonnenhöchstständen. Zwischen 12 Uhr Mittags des heutigen Tages und 12 Uhr Mittags des nächsten Tages vergehen also 24 Stunden. Innerhalb dieser 24 Stunden passieren zwei Bewegungen: Einmal die Rotation der Erde um die eigene Achse und dann die Rotation der Erde um die Sonne.

Abbildung 13: Der Sternenhimmel für Deutschland.
Betrachten Sie hierzu Abbildung 13 . In diesem etwas unrealistischem Beispiel kreist die Erde in 8 Tagen um die Sonne \(T_{year}=8T_{day}\). Während eines Tages legt die Erde also 45 Grad auf ihrem Weg um die Sonne zurück. Während dieser Zeit rotiert die Erde einmal um ihre Achse und dann zusätzlich noch um 45 Grad weiter. Genau dann hat die Sonne wieder ihren Sonnenhöchstand erreicht.

Die Rotationsdauer der Erde um ihre eigene Achse wird als Sterntag (siderischer Tag) bezeichnet. Wie Sie aus der Abbildung entnehmen können gilt
$$\begin{equation} \frac{1}{T_{sideral}} = \frac{1}{T_{day}} + \frac{1}{T_{year}} \end{equation}$$(7)
Wenn Sie das für die Erde ausrechnen (nun mit dem korrekten Wert \(T_{year} = 365.25 T_{day}\)), dann erhalten Sie
$$\begin{equation} T_{sidereal}= \frac{365.25}{365.25+1} \mathrm{24h} = \mathrm{23h 56m 4s} \end{equation}$$(8)
Wir haben jetzt zwei Tagesbegriffe:
  1. Sonnentag \(T_{day}\): Der Zeitraum zwischen zwei Sonnenhöchstständen. Dieser Zeitraum wird in 24h unterteilt. Ein Jahr hat 365.25 Sonnentage.
  2. Sterntag \(T_{sidereal}\): Der Zeitraum für eine Erdrotation. Oder für unsere Sternkarte der Zeitraum für eine Rotation der Himmelssphäre. Wenn Sie zum Beispiel sich am Sternenhimmel einen Stern aussuchen, dann dauert es genau 23h 56m 4s bis Sie den Stern genau in der selben Richtung wieder sehen können. Ein Jahr hat 365.25 + 1 Sterntage.
Zurück zu unserer drehbaren Sternkarte: Der Horizont dreht sich also im Zeitraum \(T_{sidereal}\)um 360 Grad. \(T_{sidereal}\)ist nun nicht ganz mit 24 Stunden identisch. Wir behelfen uns folgendermaßen: Zusätzlich zur Stundenskala führen wir auch noch eine Tagesskala ein. Markieren Sie hierzu die Checkbox Date scale an der drehbaren Sternkarte.

Den aktuellen Sternenhimmel können Sie jetzt einstellen, wenn Sie die gewünschte Uhrzeit (Ortszeit) mit dem Wunschdatum in Übereinstimmung bringen. Innerhalb von 24 Stunden drehen Sie den blauen Horizont also um 360 Grad müssen dann aber auf der Datumsskala auch noch einen Tag weiter gehen. Damit entspricht die Rotationsdauer des Horizonts genau einem Sterntag (Innerhalb eines Jahres dreht sich der Horizont also 365.25+1 mal)

Jetzt muss ich Ihnen noch erklären wo wir die Datumsskala anfangen lassen. Betrachten Sie hierzu Abbildung 6 . Am 21.3 steht die Sonne von der Erde aus gesehen genau im Frühlingspunkt. Sie hat also ein Rektaszension von 0. Wir bringen die Datumsskala deshalb so an, dass der 21.3 mit der Rektaszension 0 übereinstimmt.

Jetzt können Sie über die Datumsskala für jeden Tag des Jahres die Rektaszension der Sonne ablesen. Genauer gesagt handelt es sich um die Rektaszension der mittleren Sonne. Mehr dazu im nächsten Abschnitt.

Zusätzlich gilt noch, dass die Sonne jeweils um 12 Uhr Ortszeit ihren Höchststand im Süden erreicht hat. Das heißt, wenn wir die Südrichtung unseres Horizonts auf das jeweilige Tagesdatum einstellen, dann können Sie aus der drehbaren Sternkarte den Sternenhimmel für 12 Uhr Mittags ablesen. Wir müssen also die 24 Stunden Skala (am Horizont der drehbaren Sternkarte) so anbringen, dass 12 Uhr im Süden liegt.

Wahre und Mittlere Sonne

Wenn Sie die Rektaszensionsskala und die Datumsskala unserer drehbaren Sternkarte genau betrachten, dann werden Sie feststellen, dass die Rektaszension 0h mit dem Datum 22.3 übereinstimmt. Wieso jetzt nicht der 21.3?

Nun am 31.3 steht die wahre Sonne im Frühlingspunkt, während die mittlere Sonne das eher am 22.3 tut.

Die wahre Sonne beschreibt die tatsächliche Position der Sonne. Die mittlere Sonne geht von einer gemittelten Sonnenbahn aus.

Diese Unterscheidung ist notwendig weil die Zeit zwischen zwei Sonnenhöchstständen nicht immer genau 24 Stunden beträgt. Dies hat zwei Gründe: Nun wollen wir Menschen mit einem gleichförmigen Zeitmaß arbeiten und haben auch nicht jeden Tag Lust die Uhr mit dem wahren Sonnenhöchststand zu synchronisieren. Im täglichen Leben benutzen wir deshalb die mittlere Sonnenzeit. Dies kann von der wahren Sonnenzeit um bis zu 15 min abweichen.

Die Dauer eines mittleren Sonnentags könnte man bestimmen indem man über ein Jahr immer die Zeit zwischen zwei Sonnenhöchstständen misst und dann den Durchschnittswert ausrechnet. Diese Zeitraum nennen wir dann mittleren Sonnentag und teilen ihn in 24 Stunden ein.

Die Datumsskala an der drehbaren Sternkarte bezieht sich also auf die mittlere Sonne: Bei dieser gehen wir einfach davon aus, dass sich die geozentrisch äquatoriale Länge (Rektaszension) der Sonne gleichmäßig über das Jahr verändert. Damit haben wir ein gleichförmiges praxistaugliches Zeitmaß definiert.

Noch ein Wort zur Sonnenposition wie sie in Abschnitt Geozentrisch äquatoriale Koordinaten berechnet wurde und der Sonnenposition wie sie an Hand der Datumsskala einstellbar ist: Die Sonnenposition die wir in unserem Beispiel in Abschnitt Geozentrisch äquatoriale Koordinaten berechnet haben, berücksichtigt die Umrechnung aus Formel 6 . Das heißt wir haben (in einer gewissen Näherung) die wahren Sonnenposition berechnet. Beide Positionen können bis zu 10 min (Rektaszension) voneinander abweichen.

Bei manchen kaufbaren drehbaren Sternkarten gibt es übrigens zwei Datumsskalen: An der zweiten Datumsskala kann man dann die Position der wahren Sonne ablesen.

Zur Genauigkeit einer drehbaren Sternkarte

Die wahre und die mittlere Sonne weichen also um mehrere Minuten voneinander ab.

Wie genau ist aber die Position eines Sterns am Sternenhimmel über eine drehbare Sternkarte ermittelbar? Die Sterne sind soweit von uns entfernt, dass wir von ihrer Bewegung nichts mitbekommen. Es sind also Fixsterne mit immer identischen äquatorialen Koordinaten. Das stimmt allerdings nicht ganz: Das äquatorial geozentrische Koordinatensystem benutzt eine X-Achse die in Richtung des Frühlingspunkts zeigt. Die Präzession des Frühlingspunkts bewirkt allerdings, dass sich das Bezugssystem ändert und damit auch die geozentrisch äquatorialen Koordinaten eines Fixsterns. Der Frühlingspunkt wandert pro Jahr etwa nur um 50 Bogensekunden weiter. Dementsprechend klein sind auch die Korrekturen, die man an den äquatorialen Koordinaten machen müsste.

Ob ein Stern gerade sichtbar ist und in welcher Richtung (Position) ist dann über den Horizont einstellbar. Die Drehung des Horizonts (365+1 mal im Jahr) entspricht der Erddrehung. Die Erde dreht sich ziemlich gleichmäßig. Ein Erdumdrehung dauert vielleicht einmal 5 ms länger als die Vorhergehende. Aber das war es dann auch schon.

Ein weiter Ungenauigkeit ergibt sich dadurch, dass wir bei der drehbaren Sternkarte keine Schalttage berücksichtigen. Ungefähr alle 4 Jahre wird der Februar um einen Tag verlängert. In unserer drehbaren Sternkarte ist der Februar aber immer 28 Tage lang und wir lassen das Jahr immer am 1. Januar (und nicht etwas 1. Januar + n mal 0.25 Tage) beginnen. 0.25 Tage gerechnet auf ein Jahr entspricht etwa einer Rektaszension von 1 min. Wobei sich diese Ungenauigkeit natürlich alle 4 Jahre wieder auf Null reduziert.

Mathematische Ableitung

In Abschnitt Physik der Planetenbewegung hatten wir die Kreisbewegung der Planeten nicht mathematisch abgeleitet. In diesem Abschnitt versuche ich eine vereinfachte mathematische Ableitung der Planetenbewegung.

Newtonsche Axiome

Wir starten mit den newtonsche Axiomen. Dies sind Erfahrungstatsachen, welche nicht aus anderen Gesetzen abgeleitet werden können.
1. Axiom: Trägheitssatz
Ein Körper behält seinen Bewegunszustand (Größe und Richtung der Geschwindigkeit) bei, sofern keine Kraft auf ihn wirkt.
2. Axiom: Aktionsprinzip
Ein Körper beschleunigt in Richtung der Kraft, welche auf ihn wirkt. Die Größe der Beschleunigung ist proportional zur Kraft und umgekehrt proportional zur Masse des Körpers. Mathematisch ausgedrückt:
$$\begin{equation} a = \frac{F}{m} \end{equation}$$(9)
Symbol Bedeutung
\(F\)Kraft
\(m\)Masse
\(a\)Beschleunigung
3. Axiom: Actio und Reactio
Kräfte treten immer paarweise aus. Wenn ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft ausübt, dann übt auch Körper B auf Körper A eine Kraft auf. Die Kraft von B auf A ist dann gleich groß wie von A auf B aber die Richtung ist genau entgegen gesetzt.
4. Axiom: Superpositionsprinzip
Wirken auf einen Punkt mehrere Kräft ein, so addieren sich diese vektoriell zu einer Gesamtkraft.

Gravitationskraft

Die Graviationskraft kann man mathematisch folgendermaßen beschreiben:
$$\begin{equation} F = \gamma \frac{m_1 m_2}{r^2} \end{equation}$$(10)
Symbol Bedeutung
\(F\)Kraft.
\(m_1\)Masse von Körper 1
\(m_2\)Masse von Körper 2
\(r\)Abstand der Körper
\(\gamma\)Gravitationskonstante

Zentripetalkraft

Gemäß des ersten Newtonschen Axioms behält ein Körper seinen Bewegungszustand (Geschwindigkeit und Richtung) bei, wenn keine Kraft auf ihn wirkt. Das zweite Newtonsche Axiom beschreibt wie sich ein Körper unter Krafteinfluss verhält: Er beschleunigt in Richtung der Kraft. Die Beschleunigung ist dabei umso größer je größer die Kraft ist.

Können wir uns eine Kraft vorstellen, welche einen Körper auf eine Kreisbahn mit konstanter Geschwindigkeit zwingt?

Ja das geht. Betrachten Sie die Abbildung 14 :

Abbildung 14: Skizze zur Ableitung der Zentrifugalkraft.
Ein Körper befindet sich zum Zeitpunkt \(t\)am Ort \(\vec{r}(t)\)und hat die Geschwindigkeit \(\vec{v}(t)\). Der Geschwindigkeitsvektor \(\vec{v}(t)\)steht senkrecht zum Ortsvektor \(\vec{r}(t)\). Bei einer Kreisbahn muss dies zu jedem Zeitpunkt der Fall sein, sonst würde sich ja der Abstand zum Zentrum ändern. D.h. zu einem Zeitpunkt \(t+dt\)muss wieder gelten, dass \(\vec{v}(t+dt)\)senkrecht auf \(\vec{r}(t+dt)\)steht. Wir fordern eine Kreisbahn mit konstanter Geschwindigkeit, es soll also gelten \(|\vec{v}(t)|=|\vec{v}(t+dt)|=const\).

Damit diese zwei Bedingungen erfüllt sind, muss sich die Richtung der Geschwindigkeit innerhalb des Zeitraums \(dt\)um \(d\vec{v}\)ändern (nur die Richtung aber nicht der Betrag). Die Geschwindigkeitsänderung (=Beschleunigung) ist dabei zum Zentrum hin gerichtet.

Wir können nun rein geometrisch argumentieren: Das Dreieck gebildet aus den Vektoren \(\vec{r}(t), \vec{r}(t+dt), d\vec{r}\)ist ähnlich zum Dreieck \(\vec{v}(t), \vec{v}(t+d), d\vec{v}\), es gilt also ( \(dr=|d\vec{r}|\), \(dv=|d\vec{v}|\), \(r=|\vec{r}|\))
$$\begin{eqnarray} \frac{dr}{r} = \frac{dv}{v} \\ \frac{dr}{r dt} = \frac{dv}{v dt} \end{eqnarray}$$(11)
(12)
Damit ergibt sich für die Beschleunigung die ein Körper zum Zentrum hin erfahren muss, damit er einer Kreisbahn folgt
$$\begin{equation} a=\frac{dv}{dt} = \frac{vdr}{dt r} \end{equation}$$(13)
Für Bahngeschwindigkeit gilt \(v=dr/dt\)und deshalb folgt für die Beschleunigung
$$\begin{equation} a=\frac{v^2}{r} \end{equation}$$(14)
Benutzt man noch das 2. newtonsche Axiom Formel 9 , so erhalten wir die bekannte Formel zur Zentripetalkraft
$$\begin{equation} F = \frac{mv^2}{r} \end{equation}$$(15)

Planetenbahn

Ein Planet folgt einer Kreisbahn wenn auf ihn eine Zentripetalkraft gemäß 15 wirkt. Die Zentripetalkraft in unserem Sonnensystem ist mit der Gravitationskraft 10 zwischen Sonne und Planet identisch.

Machen Sie sich dabei klar, dass die Gravitationskraft gleichermaßen auf Sonne und Planet wirkt. Da die Sonnenmasse aber viel größer als die Planetenmasse ist, kann die durch die Gravitationskraft ausgelöste Sonnenbewegung vernachlässigt werden. Man kann sich die Sonne in der Mitte unseres Sonnensystems angeschraubt denken.

Zwischen Umlaufgeschwindigkeit und Abstand des Planeten zur Sonne gibt es dabei einen mathematischen Zusammenhang. Wenn wir Zentripetalkraft und Gravitationskraft gleich setzen ergibt sich
$$\begin{eqnarray} \gamma \frac{mM}{r^2} &=& \frac{mv^2}{r} \\ \gamma \frac{M}{r} &=& v^2 \\ \gamma \frac{M}{r} &=& \left(\frac{2\pi r}{T} \right)^2\\ \frac{r^3}{T^2} &=& \frac{\gamma M}{4\pi^2} \end{eqnarray}$$(16)
(17)
(18)
(19)

Die Keplerschen Gesetze

Johannes Kepler hat durch Vermessung der Planetenbahnen 3 Gesetze ermittelt, denen die Planetenbewegung folgt:
1. Kepler-Gesetz
Die Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen. Die Sonne steht in einem der Brennpunkte der Ellipse.
2. Kepler-Gesetz
Der Fahrstrahl gezogen von der Sonne zum Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.
3. Kepler-Gesetz
Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen (Kuben) der großen Halbachsen.
Kepler hat diese Gesetze durch Beobachtung der Planetenbahnen ermittelt. Diese Gesetze können aber auch aus den newtonschen Axiomen und dem Gravitationsgesetz abgeleitet werden. Für den Spezialfall des Kreises haben wir dies bereits getan:
1. Kepler-Gesetz
In Abschnitt Planetenbahn haben wir die Kreisbahn eines Planeten abgeleitet. Der Kreis ist der Spezialfall einer Ellipse.
2. Kepler-Gesetz
Wir sind dabei von einer gleichförmigen Kreisbahn ausgegangen. Bei dieser ist die Umlaufgeschwindigkeit konstant. Also überstreicht auch der Fahrstrahl in gleichen Zeiten gleiche Flächen.
3. Kepler-Gesetz
Der Kreis ist der Spezialfall einer Ellipse wobei der Kreisradius dann mit der großen Halbachse zusammen fällt. Damit haben wir das 3. Kepler-Gesetz mit Gleichung 19 bewiesen.
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